Guida: Teoria della Probabilità applicata al Battling

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CtW

Posted on 14/2/2011, 17:45

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zapavyah7
Teoria della Probabilità
nel gioco Pokémon

La presente è una trattazione grosso modo esaustiva della teoria della probabilità e, soprattutto, delle sue applicazioni nel Pokémon battling. Nel testo si susseguiranno anche numerosi esempi sia riferiti ad oggetti di uso comune nella vita di tutti i giorni (dadi, carte da gioco), sia a situazioni concrete di battling, in modo da guidare passo dopo passo il lettore verso una certa familiarità con l'argomento e soprattutto con il lato operativo di esso, che verrà comunque approfondito nell'ultimo paragrafo. Buona lettura.

0. Notazione matematica utilizzata

Nel testo verranno utilizzati alcuni artifici matematici di uso comune nella Teoria degli Insiemi e nell'aritmetica. Li introduco qui per chiunque non li conoscesse, in modo da rendere in seguito più chiaro e scorrevole il testo.

Insiemistica:

Nella teoria degli insiemi, si parla di Insiemi ed Elementi. Un elemento può essere un qualsiasi numero, una lettera, una parola etc. Un insieme è una sorta 'gruppo' che racchiude questi elementi. Gli elementi di un insieme vengono segnalati tramite le parentesi graffe. Quando un elemento j appartiene ad un insieme A, si scrive j∈A.
A= {1,2,3}
allora 1 ∈ A.
Esiste in genere un 'insieme degli insiemi', vale a dire l'insieme universo, che li contiene tutti e contiene dunque anche tutti gli elementi che possono essere contenuti da un insieme. Chiamiamo l'insieme universo I.
Sia I: {1,2,3,4,5}
ed A: {1,2,3}
allora si parla di
A ⊂ I, cioè A è contenuto in I, e si dice 'sottoinsieme di I'. Ovviamente questo non vale solo per l'insieme universo. Se
B: {1,2}
Allora B ⊂ A.
Quando si parla di A^c, si parla di complementare di A. Il complementare di A contiene tutti gli elementi dell'insieme universo che NON appartengono ad A.
Se consideriamo I ed A come nel punto precedente, allora
A^c: {4,5}
Si parla di intersezione quando si denota la parte comune a due o più insiemi. Dati due insiemi A e B, la loro intersezione viene chiamata A n B.
Esempio:
A: {1,2,3}
B: {13,26,3}
A n B = {3}
che è l'unico elemento in comune. Ovviamente l'intersezione può contenere più di un elemento.
Se
A: {1,2,3}
B: {13,26,42}
Allora si dice che l'intersezione dei due insiemi è l'insieme vuoto, ovvero Ø. In questo caso, i due insiemi A e B si dicono disgiunti.
L'unione invece è, in un certo qual modo, la somma degli elementi dei due insiemi. Si denota con A u B.
Esempio:
A: {1,2,3}
B: {3,5,26}
A u B: {1,2,3,5,26}
Notare che il 3 non viene ripetuto due volte. Questo è perché l'intersezione tra A e B, gli elementi in comune, vengono contati una sola volta.

Logica:

∀ si chiama quantificatore universale. Si legge 'per ogni', ed indica che la legge espressa prima del simbolo vale per ogni elemento espresso dopo il simbolo. Ad esempio:
n < 2*n ∀ n ≥ 1
Perché se n = 0 allora 0 = 2*0 e la legge non vale. Invece, per ogni n maggiore o uguale ad 1 la legge è vera, com'è immediato verificare (stiamo parlando di numeri naturali).

Aritmetica:

Supponendo che voi sappiate come si facciano somme, moltiplicazioni ed elevamenti a potenza (e se non sapete come fare, usate una calcolatrice oppure andate a completare le scuole elementari), l'aritmetica che dovrete sapere per conoscere questo testo è abbastanza limitata, ma ci sono alcune eccezioni che è bene conoscere:
- Il fattoriale. Esso si esprime con il punto esclamativo, !, e corrisponde al numero trovato moltiplicando tutti i numeri naturali compresi tra 1 e quel numero compreso. Per chiarirvi le idee, alcuni esempi:
1! = 1
2! = 1*2 = 2
3! = 1*2*3 = 6
5! = 1*2*3*4*5 = 120
(10-4)! = (6)! = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720
10! - 4! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 - 1*2*3*4 = = 3628776
Infine, per convenzione:
0! = 1
da cui
(10-10)! = (0)! = 0! = 1

- Il coefficiente binomiale.
3af9cce807c014efcd2329060c4bc4d6

Il coefficiente binomiale designa una operazione particolare che coinvolge i fattoriali. Ricopre una parte importante di questa guida per cui è importante conoscerlo, come i fattoriali. Vengono usate entrambe le notazioni nel testo, sia quella con la parentesi con i due numeri che quella con la C; tuttavia, in matematica è utilizzata prevalentemente quella con i due numeri e basta. Non temete, però, corrispondono alla stessa cosa!
Dato che potrebbe non essere immediato, calcoliamo qualche coefficiente binomiale.
C[1;1] = (1!)/((1!)*((1-1)!)) = 1 / (1*1) = 1
C[2;2] = (2!)/((2!)*((2-2)!)) = 2 / (2*1) = 2/2 = 1
Si può dimostrare che il coefficiente binomiale tra due numeri uguali è sempre 1.
C[5;1] = (5!)/(1* (5-1)!) = 120 / 4! = 120 / 24 = 5
Si può dimostrare anche che il coefficiente binomiale tra un numero ed 1 è sempre il numero originale, in questo caso C[5;1]=5 quindi C[1300;1]=1300, senza fare tremendi calcoli che coinvolgono numeri a 3485 cifre.
C[5;2] = (5!)/((2!)*((5-2)!)) = 120 / ((2)*(3!)) = 120 / (2*6) = 120/12 = 10
C[6;3] = (6!)/((3!)*((6-3)!)) = 720 / ((6)*(3!)) = 720 / (6*6) = 720/36 = 20
C[7;2] = (7!)/((2!)*((7-2)!)) = 5040 / ((2)*(5!)) = 5040 / (2 * 120) = 5040/240 = 21
E così via.

- L'ultimo strumento che verrà introdotto qui è quello della sommatoria. La sommatoria coinvolge degli indici. Letteralmente, significa fare la somma di tutti gli elementi che sono proposti dentro la sommatoria, sostituendo ogni volta l'indice con un numero diverso appartenente all'intervallo, specificato sotto e sopra la sommatoria. La sommatoria si denota con la lettera Sigma maiuscola.
Per essere più chiaro, qualche esempio.
Σ_i=1¹⁰ i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55
Perché i variava tra 1 e 10, e la sommatoria era su i. Quindi abbiamo sostituito ogni volta ad i 1, 2, 3 etc. nell'ordine, fino a raggiungere il valore espresso nel termine in alto.
Σ_i=5⁷ i^2 = 5^2 + 6^2 + 7^2 = 25 + 36 + 49 = 110
ovviamente si può parlare di sommatorie anche sui coefficienti binomiali. I calcoli sono più lunghi, ma il concetto è identico.
Σ_i=1³ C[3;i] = (3!)/((1!)*((3-1)!)) + (3!)/((2!)*((3-2)!)) + (3!)/((3!)*((3-3)!)) = 6/2 + 6/2 + 1 = 3 + 3 + 1 = 7
Adesso, se avete capito quanto spiegato, dovreste essere pronti ad affrontare il resto del testo con serenità. Qui e là nel testo saranno comunque rinfrescati i concetti tramite esercizi.

1. Cenni storici alla Teoria della Probabilità

Se non vi interessa minimamente la storia che sta dietro la probabilità e magari la conoscete già, potete saltare a piè pari questo paragrafo. Tuttavia, sarebbe importante che gli deste almeno un'occhiata, soprattutto per quanto riguarda gli esempi.

La prima definizione di probabilità fu formulata nel 1812 da Pierre Simon Laplace. Essa è molto importante anche dal punto di vista operativo perché coinvolge valori direttamente misurabili. La definizione è la seguente:

Dato un evento E, la probabilità di questo evento P(E) è uguale al rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili.

Com'è ovvio, non ha senso parlare di casi favorevoli o possibili in termini di numeri negativi. Per questo motivo, abbiamo che 0 ≤ P(E). Allo stesso modo, possiamo notare che il numero di casi favorevoli è al più uguale al numero di casi possibili: per questo motivo P(E) è limitata anche superiormente da 1. Giungiamo così ad una conclusione valida per ogni probabilità di qui in poi trattata, ovvero:

0 ≤ P(E) ≤ 1

È utile far notare che, per chi è abituato con le percentuali, la probabilità P di un evento è pari ad esattamente un centesimo della percentuale. Per esempio, se la probabilità è 80%, allora P=80*0,01=0,8. Così, allo stesso modo, una percentuale del 100% corrisponde all'unità, mentre una percentuale nulla rimane nulla come probabilità. In questa guida verrà usata la probabilità come definita da Laplace e non la percentuale per ragioni operative che risulteranno presto chiare al lettore.

Esercizio svolto 1
Calcolare la probabilità di fare testa lanciando una moneta.
Ad ogni lancio di moneta, ci sono due possibili esiti: Testa oppure Croce, ed essi hanno esattamente la stessa probabilità di accadere. Testa è il caso favorevole, ed è uno. I casi possibili sono due, Testa e Croce. La probabilità cercata è dunque 1/2, ovvero 0.5.

Esercizio svolto 2
Calcolare la probabilità di fare 4 tirando un dado.
Il dado ha sei facce, 1, 2, 3, 4, 5, 6. C'è solo un caso favorevole, quello in cui il dado dà come risultato 4. Dunque la probabilità è 1/6.

La seconda definizione di probabilità, quella di Venn, datata 1866, si basa su un approccio analitico, ed è più operativa. Si basa sulla definizione di limite.

Chiamando n il numero di casi favorevoli, ed N il numero di volte in cui è ripetuto l'esperimento, si ha che

P(E) = lim _N→∞ n/N

Il suo significato può non essere chiarissimo. Significa, in breve, che all'aumentare di N il rapporto tra n ed N tende a stabilizzarsi verso un valore. Questo valore è proprio la probabilità che l'evento E si manifesti.

La terza definizione, più importante dal punto di vista matematico, si fonda sulla teoria degli insiemi. Formulata dal matematico russo Andrey Kolmogorov nel 1933, si avvale del seguente enunciato.

Sia E un generico evento elementare associato ad un certo esperimento e chiamiamo S l'insieme di tutti gli eventi elementari E. Si consideri adesso un generico sottoinsieme s di S.
s ⊂ S
Sia € l'insieme di tutti i sottoinsiemi di S:
€ = {s:s⊂S}
Notiamo esplicitamente che l'insieme vuoto Ø e l'insieme S appartengono ad €.
Ø ∈ €
S ∈ e
Notiamo altresì che, dati due qualsiasi insiemi A e B appartenenti ad €, anche la loro unione, la loro intersezione ed i loro complementari in € appartengono ad €.
A u B ∈ € ∀ A,B ∈ €
A n B ∈ € ∀ A,B ∈ €
A^c ∈ € ∀ A ∈ €
Sia dunque P(s) una funzione definita nell'insieme € che associa ad ogni sottoinsieme s di S un numero reale non negativo. Diciamo che P(s) è una probabilità se
P(S) = 1
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B) ∀ A,B ∈ €
P(Ø) = 0

La potenza di questa definizione non sta tanto nell'aiuto che offre nei calcoli quanto nello spazio che ritaglia alla probabilità nella teoria degli insiemi, ed alla capacità di offrire rapidamente nel lettore un'immagine mentale chiara della situazione, anche a livello probabilistico.

2. L'Addizione nella Probabilità

Quando si tratta di calcolare la probabilità che accadano due o più eventi (o l'uno, o l'altro) tra quelli disponibili, allora interviene in nostro aiuto la legge dell'addizione delle probabilità, che recita:

La probabilità che accada l'uno o l'altro evento è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi, da cui viene però sottratta la probabilità dell'intersezione dei due eventi.

In formule:
P(A oppure B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
ovvero
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Per rendere maggiormente chiara la situazione, prendiamo in esame questa figura:

L'insieme delimitato dalla zona nera è l'insieme di tutte le probabilità. L'insieme delimitato dalla zona rossa rappresenta P(A), mentre quello blu rappresenta P(B). La zona verde è ovviamente P(A n B). Prendendo ora in esame l'unione dei due insiemi, vogliamo trovare la zona blu + la zona rossa + la zona verde. Sommando però l'insieme delimitato dalla linea blu e l'insieme delimitato dalla linea rossa, prenderemmo due volte in considerazione la zona verde, ed avremmo zona blu + zona rossa + 2 zona verde. Per arrivare dunque al risultato desiderato dovremo sottrarre dalla somma di P(A) e P(B) la zona verde, vale a dire P(A n B).

È semplice infine verificare che, per P(A n B) = 0 (cioè "gli insiemi non si toccano"), allora vale la somma diretta. Questo caso particolare viene chiamato 'Somma della probabilità di eventi disgiunti'.

Esercizio svolto 3
Calcolare la probabilità di pescare, in un mazzo di carte da 52, un due oppure una carta a picche alla prima pescata.
Chiamiamo P(A) la probabilità di pescare una carta a picche, mentre P(B) la probabilità di pescare un 2. Le carte in totale sono 52. Le carte a picche sono 13 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K), dunque P(A) vale 13/52. Similarmente, ci sono 4 due in un mazzo di carte, dunque P(B) = 4/52. P(A n B) non è nulla, perché esiste una carta nel mazzo che è sia un due che una carta a picche: il due di picche. P(A n B) vale dunque 1/52. Grazie alla formula generale concludiamo che:
P(A u B) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52.

Esercizio svolto 4
Calcolare la probabilità di fare testa oppure croce lanciando una moneta.
Come abbiamo visto nell'esempio 1, sia la testa che la croce hanno probabilità di accadere pari ad 1/2. L'intersezione è nulla. Vale dunque P(A u B) = 1/2 + 1/2 = 1

Esercizio svolto 5
Calcolare la probabilità di fare un numero pari tirando un dado a sei facce.
Abbiamo che la probabilità dei singoli numeri è pari ad 1/6, come visto nell'esempio 2. I numeri pari sono 2, 4 e 6. L'intersezione è nulla.
P(2 u 4 u 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.

3. La Moltiplicazione nella Probabilità

Finora abbiamo trattato casi in cui si cerca la probabilità dell'unione tra due eventi. Tuttavia le cose si fanno un po' diverse quando si cerca la probabilità che accadano due eventi contemporaneamente, vale a dire l'intersezione tra le probabilità. Si noti che l'intersezione è già stata usata nell'esempio 3 in modo completamente implicito. Sarà a breve più chiaro come funzioni a livello matematico.

Siano A e B due eventi la cui probabilità è rispettivamente P(A) e P(B). Sia P(B\A) la probabilità che B si verifichi una volta che si è verificato A. Allora la probabilità che si verifichino sia l'evento A che l'evento B è pari al prodotto tra la probabilità che accada l'evento A e la probabilità che accada l'evento B una volta che A è accaduto.

In formule:
P(A n B) = P(A) * P(B\A)

Notiamo che se A e B sono eventi indipendenti, cioè non causalmente connessi (se si verifica l'uno, ciò non ha influenza sul fatto che l'altro possa verificarsi.), allora la formula diventa più semplicemente:

P(A n B) = P(A) * P(B)

In quanto la probabilità che B si verifichi una volta verificatosi A è indipendente da A, ed è dunque identicamente P(B).

Esercizio svolto 6
Calcolare la probabilità di pescare un 2 di picche da un mazzo di 52 carte.
La probabilità di pescare un 2 è 4/52. La probabilità di pescare una carta a picche è 13/52. I due eventi sono indipendenti.
Allora P(2 n picche) = 13/52 * 4/52 = 1/52.
Che è attendibile, in quanto c'è solo una carta su 52 ad essere un due di picche in un mazzo standard.

Esercizio svolto 7
Calcolare la probabilità di colpire l'avversario due volte di fila usando Thunder con Jolteon.
La probabilità di colpire l'avversario con Thunder, cioè la sua accuracy, è 7/10. Colpire due volte di fila corrisponde alla probabilità di far accadere contemporaneamente due eventi indipendenti a probabilità 0.7. La probabilità cercata è dunque
P(Thunder n Thunder) = P(Thunder) * P(Thunder) = 0.7 * 0.7 = 0.49.
Per una migliore spiegazione di questo esercizio si attenda il paragrafo 4.

Esercizio svolto 8
Calcolare la probabilità di fare CH oppure una paralisi usando Thunderbolt di Jolteon in DP.
La probabilità di fare CH, è P(CH)=1/16=0.0625, lo sappiamo dalle meccaniche del gioco. Allo stesso modo conosciamo la probabilità di causare una paralisi usando Thunderbolt: questa è 1/10, vale a dire 0.1. I due eventi sono indipendenti. E' dunque possibile concludere che P(CH n Paralisi) = 1/16 * 1/10 = 1/160. Per trovare infine la probabilità richiesta dal problema, sfruttiamo la regola dell'addizione:
P(CH u Paralisi) = P(CH) + P(Paralisi) - P(CH n Paralisi) = 1/16 + 1/10 - 1/160 = 5/32 = 0.15625.

Esercizio svolto 9
Calcolare la probabilità di fare un CH mentre si missa Thunder.
La probabilità di colpire usando Thunder è 0.7, dunque il suo complementare (la probabilità di mancare) è 1-0.7=0.3. La probabilità di fare CH è 0.0625. Si potrebbe dunque concludere, erroneamente, che la probabilità di fare CH mentre si missa Thunder sia 0.3*0.0625=0.01875. Tuttavia non abbiamo considerato il fatto che gli eventi NON sono indipendenti. Infatti, se si missa Thunder, la probabilità di fare CH diviene 0. Infatti, la formula esatta ci offre il risultato corretto:
P(Miss Thunder n CH) = P(Miss Thunder) * P(CH se si missa Thunder) = 0.3 * 0 = 0.

Esercizio svolto 10
Calcolare la probabilità di fare tirando un dado esattamente 2 e 3 in un solo tiro.
Come nell'esempio precedente, gli eventi non sono indipendenti. Se faccio 2 (probabilità 1/6), non posso in alcun modo aver fatto anche 3. Quindi P=1/6 * 0 = 0

4. Teorema di Bernoulli ed Applicazioni al Battling

Come abbiamo visto in alcuni esempi precedenti, le applicazioni della probabilità alle situazioni del battling sono molteplici. Avere una buona padronanza di esse ci permette di avere una maggiore consapevolezza del gioco: capire se l'avversario sta veramente avendo fortuna facendo un critico su 16 mosse, oppure se il mio Zapdos non colpisce con tanti Thunder quanto dovrebbe. Tuttavia, i teoremi utili della probabilità per il battling non sono finiti. Il Teorema di Bernoulli offre la possibilità di calcolare la probabilità degli eventi 'ripetuti', ossia la probabilità che un certo evento a probabilità P capiti k volte quando si ritenta l'esperimento n volte. Il teorema è il seguente.

Sia P la probabilità di un evento E, e sia Q il suo complementare (ovvero 1-P). La probabilità che, su n tentativi, k e solo k abbiano successo è la seguente:
pikasika

Esercizio svolto 11
Calcolare la probabilità di congelare due volte l'avversario usando 11 Ice Beam.
Chiamiamo P la probabilità di congelare l'avversario con Ice Beam, ovvero 1/10. Sia Q = P^c il complementare di P, cioè 1-P = 1-1/10 = 9/10. Siano n i tentativi, ovvero 11, e k gli eventi positivi, cioè 2. Calcoliamo il coefficiente binomiale.
C[11;2]=(11!)/((2!)*(11-2)!)= 55
La soluzione dunque è
P_k(E) = C[11;2]*((1/10)^2)*((9/10)^(11-2))= 55 * 1/100 * 387420489/1000000000 = 0.21308126895.
La probabilità cercata è dunque circa del 20%.

Esercizio svolto 12
Calcolare la probabilità di colpire n volte di fila usando Will-o-Wisp.
Impostiamo il problema come prima.
P=0.75
Q=0.25
n=n
k=n
n-k=0
C[n;n]=1
P_n(E) = C[n;n]*(0.75^n)*(0.25^(n-k)) = 1 * 0.75^n * 1 = (0.75)^n
Generalizzando ad una mossa con precisione P, la probabilità di colpire n volte di fila con una mossa a precisione P diventa dunque, semplicemente, P^n, come avevamo visto nel caso particolare del Thunder di Jolteon nell'esercizio 7.

Questo teorema è particolarmente importante perché rende solo una questione di calcoli la maggior parte delle situazioni modellizzabili nel battling, con un minimo ragionamento. Essere capaci di utilizzare le regole fondamentali della probabilità espresse in questa guida migliora anche le capacità di battling, perché permette di avere più chiaro quando si può osare e quando è una pessima idea. Certo, non agirà direttamente sulla vostra fortuna, tuttavia potrete avere molto più chiaro in testa quando effettivamente avete cercato voi di esagerare. Facciamo un altro esempio.

Esercizio svolto 13
Calcolare la probabilità di venire congelati almeno una volta quando l'avversario usa tutti i suoi PP di Ice Beam sulla nostra Blissey.
Sappiamo che i PP di Ice Beam sono 16, e la probabilità di congelare P è 0.1 (Q=0.9). Agendo come nell'esercizio 11, troveremmo un valore vicino al trenta per cento, che però è sbagliato: ci saremmo aspettati un valore molto più alto (almeno un freeze, ed una probabilità maggiore solo del dieci per cento?), dobbiamo esserci dimenticati qualcosa. In questo caso, noi stiamo cercando non il valore esatto per cui c'è un solo freeze, ma vogliamo che l'evento accada ALMENO una volta. Questo significa che dovremo sommare tutte le probabilità che l'evento accada almeno una volta, ovvero la probabilità che ci sia un solo freeze, che ce ne siano 2, che ce ne siano 3... etc, fino a 16. Il calcolo è abbastanza lungo, ma dando la giusta stringa ad un calcolatore (ad esempio Wolfram Alpha), giungiamo in fretta al risultato esatto:

La probabilità che l'avversario congeli Blissey è dunque maggiore dell'80%, che non è esattamente un valore trascurabile! Quindi, a volte, non è l'avversario ad avere fortuna, ma anzi siete voi ad averne se non succede assolutamente niente! Ovviamente, se volete, potete applicare a questa nuova regola le vecchie per avere una visione più chiara della situazione.

Esercizio svolto 14
Calcolare la probabilità che su 16 colpi di Ice Beam, Blissey venga congelata almeno una volta oppure subisca almeno un critico.
Sappiamo per l'esercizio 13 che P₁₆(Freeze)=0.814698.
Con un calcolo molto simile (cambiano solo P e Q), possiamo arrivare alla probabilità di subire almeno un CH: questa probabilità è 0.643926.
Sfruttando dunque le prime regole apprese abbiamo che
P₁₆(Freeze u CH) = P₁₆(Freeze) + P₁₆(CH) - P₁₆(Freeze n CH) = 0.814698 + 0.643926 - (0.814698*0.643926) = 0.934018775652
Cioè una probabilità maggiore del 93%.

Enunciate le regole, le combinazioni possibili sono ovviamente infinite, ed il numero di situazioni in-battle alle quali si possono applicare queste regole è veramente enorme. Conoscere comunque queste regole e saperle applicare bene permette di cavarsela bene praticamente in tutte le situazioni esistenti nel battling.
Concludo dunque sperando che la guida vi sia piaciuta e che sia più chiara possibile, anche nei punti possibilmente più pesanti. Se non vi dovesse essere limpido qualcosa, vi consiglio comunque di rileggere attentamente più volte il punto dolente, perché penso di essere stato piuttosto esauriente. Grazie per la lettura!

5. Ringraziamenti e fonti

Fonti:
- Misure ed analisi dei dati, Introduzione al corso di Laboratorio di Fisica - Martinelli / Baldini
Ringrazio:
- Wolfram Alpha, per avermi aiutato nei conti e per l'immagine della sommatoria.
- CodeCogs, per l'editor LaTeX online che mi ha permesso di scrivere alcune equazioni in modo più chiaro.
- gf e Seymour, che con i loro dubbi riguardo la teoria della probabilità (me li hanno espressi mesi fa e rispondo loro solo adesso con questo topic!) mi hanno dato l'idea per questa guida.
- Tutti gli utenti del Netbattle Forum, per aver letto questa guida!

SPOILER (clicca per visualizzare)

CITAZIONE

14/02/11 17:45 - Cercatesori - Scrive questa guida
15/02/11 15:33 - Cercatesori - Aggiunge il capitolo zero della guida
16/02/11 15:09 - g_f - Modifica il titolo e sticka il topic

Edited by Ctws - 11/11/2011, 02:32

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Sharingan.

Posted on 14/2/2011, 17:49

-Platino nella vita-

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sks questo nn e 1 foruim di matematici sks eh -.-'

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CtW

Posted on 14/2/2011, 17:50

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leggi invece di parlare a vuoto pleez

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Prof. Elm

Posted on 14/2/2011, 17:51

User deleted

com'era la storia del dado che avevi detto quando eravamo in macchina poer il pday l'anno scorso? (leggero ot tagliate pure il messaggio spamtagliatelo via insiueme alla risposta non so, sempre che il messaggio qui disturbi)

Sharingan.

Posted on 14/2/2011, 17:52

-Platino nella vita-