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.Osservazione generale: I triangoli equilateri sono isosceli, qualunque vertice si prenda in considerazione.
Teorema: Tutti i triangoli sono equilateri.
Ipotesi:
Consideriamo un triangolo qualunque, un asse di un lato e la bisettrice dell'angolo opposto al lato preso in considerazione.
Tesi:
Il triangolo è isoscele.
Dimostrazione:
La bisettrice individua 2 angoli uguali al vertice A (segnati in rosso). In m, chè è il punto medio tra B e C passa l'asse che ovviamente individua un angolo retto.
Chiamiamo F quel punto rosso individuato, e da quel punto faccio partire due segmenti che congiungono F e C (ho per sbaglio cancellato la C), e F e B. Inoltre, faccio partire da F, due perpendicolari ai lati AC e AB, individuando dunque angoli retti a ridosso del lato.
Numero i triangoli per comodità.
definisco h e k i due punti segnalati.
Consideriamo ora 1 e 2
Gli angoli segnati in rosso sono uguali per costruzione, gli angoli in k e h sono retti. I terzi angoli si trovano per differenza e risultano ancora essere uguali. I triangoli 1 e 2 sono simili.
I triangoli 1 e 2 hanno il lato segnato dal pallino blu in comune, dunque sono uguali per uno dei criteri di uguaglianza dei triangoli: "Due triangoli che hanno uguali un lato e i due angoli ad esso adiacenti sono uguali".
Dunque, riassumendo:
Ak = Ah
kF = hF
Consideriamo ora 5 e 6
F era sull'asse, dunque il triangolo BFC è isoscele.
Dunque, riassumendo:
FC = FB
Consideriamo infine 3 e 4
Per quanto dimostrato precedentemente, i lati segnati con i colori uguali sono uguali tra loro.
Siccome i triangoli hFB e kFC sono rettangoli (per costruzione), e siccome dati un cateto e l'ipotenusa, l'altro cateto è univocamente determinato, ecco che i triangoli 3 e 4 sono uguali.
Dunque, riassumendo:
Ck = Bh
Consideriamo ora ABC
Grazie a quanto dimostrato in precedenza, i lati segnati con i colori uguali sono uguali tra loro.
Un triangolo che ha due lati uguali è isoscele.
q.e.d
Reiterando il medesimo processo cambiando il vertice di partenza, si dimostra analogamente che il triangolo è isoscele per tutti e 3 i vertici. Come si è osservato in precedenza, un triangolo che è isoscele per tutti i vertici è equilatero, dunque tutti i triangoli sono equilateri.
Non spoilerate ai quattro venti la confutazione di quanto detto plz, usate gli MP.
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non credo proprio . -
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Ciò che non credevi è stato dimostrato, ora ci credi? . -
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beh ma un triangolo equilatero è necessariamente anche isoscele, sbaglio? . -
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mi son fermato alla prima figura . -
.CITAZIONE (Pærsona @ 26/5/2010, 21:28)beh ma un triangolo equilatero è necessariamente anche isoscele, sbaglio?
Esatto, il teorema dimostra che tutti i triangoli sono isosceli, qualunque vertice (o coppia di lati) si prenda in considerazione => tutti i triangoli sono equilateri. -
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ma non sarebbe tutti i triangoli equilateri => tutti i triangoli iscosceli
?. -
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Ma quella è una ovvietà, io ti ho dimostrato il viceversa! . -
Solarlg .
User deleted
Abry, se permetti, sarò anche in 1° superiore ma ho appena fatto queste cose. Ora per la dimostrazione della congruenza di 1 e 2 nulla in contrario, ma la dimostrazione di 5 e 6 non mi convince, tu dici che il triangolo è isoscele, ma con che principio? tu hai detto che congiungi F con C e F con B, ma non c'è nessuna informazione che ti dice che i due segmenti FC e FB siano congruenti. Inoltre, hai preso un triangolo equilatero come disegno, e se tu come ipotesi hai un triangolo qualunque, disegnare un caso particolare come un triangolo equilatero svia notevolmente le capacità deduttive, per la nostra abitudine a fidarci di quel che vediamo.
Quindi no, non tutti i triangoli sono equilateri, mi dispiace^^. -
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tried hard
16 minuti ben spesi
dimmi se la mia confutazione è corretta
EDIT: abbomba!. -
.CITAZIONE (Solarlg @ 26/5/2010, 21:57)Abry, se permetti, sarò anche in 1° superiore ma ho appena fatto queste cose. Ora per la dimostrazione della congruenza di 1 e 2 nulla in contrario,
kCITAZIONE (Solarlg @ 26/5/2010, 21:57)tu hai detto che congiungi F con C e F con B, ma non c'è nessuna informazione che ti dice che i due segmenti FC e FB siano congruenti.
F è il punto di intersezione tra asse e bisettrice.
L'asse è l'asse del lato BC.
L'asse è per definizione l'insieme dei punti equidistanti dagli estremi (B e C).
FB = FC
q.e.d.CITAZIONE (Solarlg @ 26/5/2010, 21:57)ma la dimostrazione di 5 e 6 non mi convince, tu dici che il triangolo è isoscele, ma con che principio?
E' isoscele perchè FB = FC, vedi sopra.
[facebook = forumcommunity]CITAZIONE (Solarlg @ 26/5/2010, 21:57)Inoltre, hai preso un triangolo equilatero come disegno, e se tu come ipotesi hai un triangolo qualunque, disegnare un caso particolare come un triangolo equilatero svia notevolmente le capacità deduttive, per la nostra abitudine a fidarci di quel che vediamo.
Pensi che disegnando a mano su paint io riesca a fare un triangolo equilatero? Mi chiamo Arul, mica Giotto...
Inoltre, in un triangolo equilatero, asse e bisettrice dell'angolo al vertice opposto coincidono, nel disegno no => il triangolo non è equilatero.CITAZIONE (Solarlg @ 26/5/2010, 21:57)Quindi no, non tutti i triangoli sono equilateri, mi dispiace^^
Non mi hai ancora smentito =)
Edited by Abry - 26/5/2010, 22:58. -
SilverTrainer .
User deleted
giotto faceva i triangoli equilateri a mano? . -
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beh sapeva tracciare circonferenze perfette immagino che per lui i poligoni regolari non fossero delle missioni impossibili . -
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io so scrivere tutte le cifre di π . -
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anche io pfff .
Teorema serissimo |
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