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IL COUNTERING

- Insieme P -

L'insieme P dei pokémon è definito da:



poichè ogni elemento P_i di P è un vettore



contraddistinto dalle statistiche finali (s, in ordine hp/atk/def/spd/satk/sdef), il typing (tau), le mosse (m) ed il trait (alpha), rispettivamente appartenenti agli insiemi |R6 (essendo le statistiche numeri ed il vettore statistiche 6-dimensionale), T, M ed A. T non è altro che l'intervallo dei naturali da 1 a 17, ed ogni tipo è mappato ad un suo corrispondente numero.

Si ipotizza la situazione 1 vs 1 di A vs B, dove A e B sono elementi di P.

- Definizioni utili -

1) Per determinare chi tra A e B outspeeda l'altro, è utile definire sigma_A, che vale 1 se A outspeeda B, e 0 se è il contrario. Vale, secondo la mia definizione, 1/2 in caso di speed tie, ma non avendo controllato il comportamento dell'equazione finale in questo caso è preferibile, di molto, evitare casi del genere, assegnando ad esempio 4 ev in speed addizionali ad uno dei due pkmn, o utilizzando un'altra spread comunque standard (esempio: jolteon vs aerodactyl).



Facile intuire che sigma_B=1-sigma_A, oppure si ottiene semplicemente scambiando i pedici A e B, cosa che varrà d'ora in poi per tutti pedici A o B, che serviranno esclusivamente ad identificare l'appartenenza.

2) Nelle prossime formule appare la funzione sgn-; era necessaria perchè è un 'interruttore' che passa da -1 se x è negativo o nullo, a 1 se x è positivo e permette di descrivere l'andamento della battle anche quando uno dei due pokémon è morto. La funzione signum non andava bene, poichè sgn(0)=0.



3) Chiamiamo d_A(x) il danno non percentuale inflitto da A a B con una mossa con base power (dopo tutti i moltiplicatori come stap e typing) x. Il motivo di questa scelta è dato dal fatto che comunque il danno percentuale viene definito in base a questo, e sarebbe uno spreco di spazio scrivere due formule separate.

4) Chiamiamo R_ij la matrice 17x17 anche nota come tabella di debolezze e resistenze, contenente nella cella ij il moltiplicatore del typing i-esimo contro il j-esimo. A questo scopo definiamo tau(m_{A i}) come il numero corrispondente al tipo della i-esima mossa di A..

5) Chiamiamo inoltre c_A la somma di tutti gli effetti passivi agenti su A (in percentuale divisa per 100) che ne condizionano gli hp: leftovers, sandstorm, leech seed, poison ecc., e w(m_{A i}) il base power della i-esima mossa di A. Per le mosse di supporto w vale 0, per le mosse di ripresa w assume il valore negativo corrispondente alla percentuale recuperata dalla mossa, divisa per cento. Esempio: w(recover)=-1/2.

6) Definiamo dunque gamma_A il base power della recovery di A più potente: ovvero il base power minimo presente nel moveset di A. Nel caso in cui non ci siano base power negativi, però, la formula deve restituire 0. Si ha, quindi:



- Danno e hp -

Ci sono tutti gli elementi necessari, ora, per descrivere matematicamente il corso dell'1 vs 1, ovvero come variano gli hp e il danno di A e di B nel tempo. Chiamati h_A(t) e x_A(t), rispettivamente, gli hp ed il danno (causato a B) percentuali e divisi per 100 di A (ovvero hp pieni = 1), si definiscono come successioni ricorsive, ovvero successioni nelle quali ogni termine dipende dal suo precedente. Dati gli hp iniziali e descritti completamente A e B, infatti, sotto l'ipotesi di assenza di fortuna e danni costanti (average), gli hp saranno progressivamente diminuiti dal danno subito, ma saranno anche aumentati dalla recovery move che il pokémon dovrà usare se, non usandola, morirà. Allo stesso modo il danno del pokémon che nel turno t usa la recovery dovrà valere 0, oppure un valore fissato nel caso in cui non si abbia bisogno di riprendersi.





Come avevo scritto, ecco comparire sgn-.

- Unificazione e sopravvivenza -

Otteniamo dunque 4 successioni che, a seconda del valore di sigma_A e, conseguentemente, a quello di sigma_B, vanno sviluppate secondo un certo ordine. Se A è più veloce di B, infatti, l'ordine è:

h_A -> x_A -> h_B -> x_B -> ...

cosa che sono riuscito a formalizzare per farla leggere al programma che verrà sviluppato, ed anche per unificare queste 4 successioni in un'unica, grande successione a(t) che descrive interamente l'1 vs 1.



Per fare ciò, è necessario combinare linearmente le successioni con dei fattori che varino in modo da avere tre zeri ed un uno, che andrà a moltiplicare la successione che dovrebbe essere presa in esame in quel momento. Ciò può essere ottenuto costruendo un vettore



ed una matrice



Dalla seconda viene costruito un secondo vettore dipendente da una nuova variabile discreta, n. Un vettore che è null'altro che una riga della matrice di cui sopra, che varia con il tempo. Per questo bisogna 'fissare' l'indice delle righe della matrice S come una funzione di n, che sia un loop da 1 a 4. Questa funzione è (n - 1) mod 4 +1. Da qui, facendo il prodotto scalare di questi due vettori si ottiene



che è una successione di due variabili, ricorsiva in entrambe. Dato che la variabile n è solo servita ad unificare le 4 successioni ottenute precedentemente, si possono effettuare somme che calcolino un fattore a nostra scelta al variare di n. So di non essere stato chiaro, ma in modo particolare:





(ho sottointeso il pedice A e la ricorsività per evitare di scrivere a(n,t)=a(n,t,a(n-1,t)), e non sarà l'ultima volta; omettere il pedice A o B significa generalizzare l'elemento)

dove phi sta per faster e sigma per slower, rappresentano gli hp, appunto, del più veloce e del più lento al turno t.

- Risultato dell'1 vs 1 -

L'equazione che, dunque, descrive l'1 vs 1 è, in forma generale priva di pedici identificativi:



Il pedice del pokémon di cui si desidera calcolare la sopravvivenza va messo sotto sigma. Da qui è facile definire la sopravvivenza 'u' come il numero minimo di turni necessario perchè uno dei due muoia:



Come al solito, per ottenere quella di B basta scambiare tutti i pedici idenficativi. Nella formula sopra l'equazione nelle parentesi graffe è identica a quella di prima, ma scritta in una forma più intuitiva (ho semplicemente sostituito 1-sigma_A con sigma_B),

La definizione di countering dipende quasi certamente dalla funzione di sopravvivenza; eppure abbiamo riscontrato pareri contrastanti. C'è chi, come g_f e Cerca, preferisce definire A%B (letto 'A counter B', il coefficiente che indica quanto A countera bene B) come u_A-u_B e chi, come me e Carl, che ritiene più opportuno dire che A%B=u_A/u_B.





Potrei scriverle in una sola riga creando un operatore che cambia tra / e - a seconda della definizione scelta (s per sey, g per g_f), ma è stupido.

- Generalizzazione ad una situazione n vs m -

Prima di introdurre l'ampliamento al mio lavoro, va scritta una cosa che non ho menzionato prima. Un pokémon P è espresso in funzione del turno in cui ci si trova, più specificatamente in funzione dei suoi hp attuali. Quindi, quando indicato con P, è sottointesa la notazione P(h(t)). Per situazioni diverse, verrà specificata nella notazione con quali hp il pokémon dev'essere considerato.

/-/

- I due team avversari -

Il team a disposizione del n-esimo giocatore è un sottoinsieme numerabile di P:



Generalmente considereremo team da 6 pokémon. L'elemento P₁ del team viene detto starter del team. Chiameremo P_i il generico elemento di T₁ (e indicheremo con il pedice i le sue caratteristiche, come gli hp e il danno effettuato), e con P_j quello di T₂ (lo stesso vale per il pedice j).

Per generalizzare l'equazione dell'1 vs 1 ad una generica situazione n vs m (possibilmente oltre il 6 vs 6, per quanto questa cosa sia poco interessante) vanno innanzitutto definite delle operazioni su P.

1) Riscalazione: moltiplicare un pokémon per un numero; kP, prodotto del numero k per il pokémon P, da come risultato un altro pokémon con le statistiche moltiplicate per k, con il base power di ogni mossa moltiplicato per k, con ciascun numero del tipo moltiplicato per k mod 17 (0 corrisponde ad un tipo inesistente, pensate a quello di curse), ed il numero del trait moltiplicato per k mod n, dove n è il numero di trait esistenti (anche qui, 0 corrisponde ad un trait inesistente).

2) Somma fra pokémon: P + R, la somma di P ed R, da come risultato un terzo pokémon che ha come stat la somma delle stat rispettive dei pokémon, per ciascun numero di tipo la somma dei singoli numeri (in modulo 17), e per numero di trait la somma in modulo n dei singoli numeri di trait.

Il pokémon con statistiche tutte nulle, tipi nulli, mosse da basepower 0 e numero di trait nullo viene identificato con 0 ed è l'elemento neutro della somma, oltre che l'elemento assorbente della riscalazione.

Definite le operazioni (che rendono P, effettivamente, uno spazio vettoriale) possiamo introdurre due concetti: la funzione di posizione e il fattore di switch, correlati tra loro in modo molto stretto e ricorsivo e che descrivono la situazione 1 vs 1 presente.

La funzione di posizione psi_n(t) restituisce il pokémon in campo al turno t dal lato del giocatore n.

Per definire i fattori di switch w_i e w_j sono necessari due criteri di switch, non necessariamente diversi. w_i assume come valore 1 nel caso il criterio sia soddisfatto da P_i, 0 altrimenti; lo stesso vale per w_j. Un esempio è quello formulato da me, identico per i due giocatori, cioè quello di switchare al miglior counter:





ma questo metodo è molto flessibile, e possono essere formulati diversi tipi di criteri. Come si vede nella formula è presente la funzione psi: w dipende da essa, certo, ma anche psi dipende da w: la loro formulazione è infatti ricorsiva. Prima si formula psi(0), ovvero lo starter per entrambi i giocatori, da lì si calcola il w del giocatore opposto; da quel w si ri-calcola il proprio psi, e così via. Infatti la definizione di psi, grazie alle operazioni definite sopra, è:



dove m, come scritto sopra, è il numero degli elementi di T_n.

E' adesso possibile costruire dai singoli elementi (hp e danno di ogni membro del team) una successione hp ed una del danno che tiene in conto della situazione 1 vs 1 in corso. Innanzitutto vanno modificate le singole successioni già descritte prima, che non tengono più conto di un 1 vs 1 fisso:







La seconda modifica serve a mantenere costanti gli hp se il pokémon non è in campo, mentre la terza ad azzerare il danno in caso il pokémon sia morto.

Da qui, semplicemente, i nuovi hp e danno sono:





Da qui si procede esattamente allo stesso modo di prima (utilizzando come sempre la definizione di countering e sopravvivenza precedenti, basate sull'1 vs 1), per ottenere la stessa equazione della situazione 1 vs 1 generalizzata:

- Ulteriori estensioni -

L'equazione presentata descrive in modo affidabile l'andamento di una generica partita RSE, ma la sua limitazione consiste nel numero di mosse 'supportate'. Se viene dato in input, ad esempio, Breloom, esso risulterà possibilmente inutile in-battle, perchè l'uso di Spore non viene minimanente calcolato. Ho qui un'estensione dal lavoro precedente a quasi ogni tipo di mossa (in modo particolare boost moves, status, leech seed); ho inoltre marcato la differenza tra rest, wish e le altre recovery. Presto aggiungerò il meteo. Inoltre ho aggiunto gli item, che non erano presenti prima.

- Definizione di mosse, c, funzione di stato -

Finora, le mosse sono state trattate come entità astratte definite dalla quantità 'base power' e da un tipo. Questo, come ho scritto sopra, limita notevolmente l'arsenale a disposizione di un team; percui la definizione finale di mossa è:



dove:

il primo valore è il basepower, con aggiunto un fattore (ad occhio complesso, ma non preoccupatevi) che determina semplicemente se la mossa è STABbata o meno; i due kappa sono due 6-vettori chiamati vettori caratteristici della mossa, e i due C sono le influenze caratteristiche. Cosa significa questo?

Semplice! Tutti questi valori servono a definire la funzione di stato s(t) e c, il valore che prima d'ora avevo empiricamente chiamato 'somma di tutti gli agenti esterni', senza preoccuparmi granchè del modo preciso in cui esso variasse. In generale, un pokémon P andrebbe espresso non solo in funzione dei suoi hp iniziali, ma di ogni suo elemento. La funzione s(t) è infatti un 6-vettore che va a sommarsi a quello delle statistiche del pokémon, per rappresentare eventuali boost, sia positivi che negativi. kappa_i rappresenta il vettore da sommare alle proprie statistiche, kappa_i barrato a quelle dell'avversario. Idem per i valori C_i per c.

Gli item e i trait sono definiti esattamente allo stesso modo delle mosse, ma non hanno base power nè tipo. Da qui, con alcuni conti, si può concludere che l'insieme P ha 100 dimensioni.

La probabilità che P_i la l-mossa, se è di boost o di status, a questo punto, è:



ma bisogna dare una definizione di funzione di stato e c che consenta di distinguere gli status dai non status, la choice band dagli altri oggetti, eccetera.

A questo scopo ho definito due fattori, rho e rho* che, rispettivamente, indicano se il pokémon è affetto da status e se la mossa subita al turno t è uno status:





Ed anche, ma senza scriverli perchè al momento NON MI VA, un fattore lambda che vale 1 se la mossa usata è leech seed, 0 altrimenti, epsilon, che vale 1 se la mossa è aromatheraphy o heal bell, e 0 altrimenti, chi, la probabilità che la lum berry (se è una lum berry) venga usata. Ovviamente tiene conto della mono-usabilità dell'oggetto.
Da qui c è:



mentre s(t) è:



dove iota è l'item.

Esse sono due successioni ricorsive, piuttosto lunghe e intricate, ma se volete chiarimenti basta chiedere, trovo inutile spiegare in dettaglio a chi non interessa.

Queste ultime due cose descrivono lo stato del pokémon nel tempo, e saranno sottointese a meno di casi particolari.

- Rest, Wish -

Nella formula del danno è presente un fattore sotto sgn-; quel fattore ha la funzione di azzerare il danno in caso si usino recovery. Questo fattore, chiamato r(t), va modificato due volte per adattarlo alle recovery con delay (wish) ed a rest.

Il primo passo è stato inserire una 'fase' phi che descrivesse il delay della mossa, moltiplicando il numero di volte che si dovrebbe subire il danno prima di poter recoverare.



Il secondo, più arduo, riguarda il definire rigorosamente l'ultimo turno che rest è stato usato:



che serve a formare un discriminante che annulli il danno fino a 2 turni dopo l'uso di rest:



(ringrazio Cerca per l'aiuto su questa parte)


Da qui è necessario sostituire il 'vecchio' r(t) in questo modo:



- Choice Band e modifica al danno -

Per descrivere il comportamento di un pokémon dotato di choice band, ho sfruttato il fatto che è un oggetto unico: nessun altro da un singolo boost in attacco, neanche una mossa. E' lo stesso criterio usato per definire i due rho. In breve, il fattore b



che vale 1 se l'oggetto è la choice band, 0 altrimenti, serve, assieme alla probabilità mu di usare una mossa da boost o status, a modificare la successione del danno x(t) in questo modo:



per 'costringere' il pokémon ad usare sempre la stessa mossa.

- EVOLUZIONE DEL METAGAME -

Come ho scritto nel topic di gf, la sua interpretazione 'gravitazionale' del metagame è stata illuminante: ho pensato di applicare la teoria della gravitazione al metagame. Cos'è un metagame? Un metagame è un sottoinsieme di P che soddisfi determinati criteri. In modo particolare chiameremo:

M è l'insieme di tutti i pokémon usati nell'RSE competitivo (chiamato anche RSE completo).

M_k è il sottoinsieme di M tale che ogni elemento di M abbia come usage minima k (chiamato anche k-RSE).


Come determinare k? La risposta che ai più sarà passata per la mente sarà stata: 'con delle usage lists!'

Sì, possibile. Ma io ritengo che sia più affidabile l'uso di una grandezza chiamata 'potenza relativa' (o k-potenza), denotata da pot_k(P), che descriva l'influenza del pokémon in un metagame 'appena nato', privo di usage. Un metagame selvaggio. La mia definizione di potenza relativa è basata sul concetto 'tanto meno è counterato dagli altri, tanto più è potente', e la formula che deriva da questa frase è:



Chiamerò pot(P), senza pedice k, la potenza di P in M.

Da qui, ho fatto riferimento al modello gravitazionale newtoniano: la famosa equazione F=ma, o meglio, F=p'. Qual è la differenza, chiederete? Essendo p=mv, p'=ma! ..Non in questo caso. Infatti, il modello considera ogni pokémon come un pianeta a massa variabile, massa che è precisamente uguale alla loro posizione sulla retta reale, che funge da 'universo' dove agiscono le forze di attrazione e repulsione. Repulsione perchè, sebbene sia la gravità una forza esclusivamente attrattiva, un pokémon non attrarrà mai uno che gli è debole. Una forza portante del metagame, con posizione x molto alta, eserciterà un campo di forza intorno a sè, che farà col tempo avvicinare i suoi counter, e allontanare chi gli è debole. Arrivati i counter vicini al pokémon centralizzante, esso per la stessa legge si allontanerà. Così funziona l'evoluzione del metagame, e l'equazione che modella il fenomeno è:



Dove le x_i sono vettori in notazione tensoriale, usata per rendere l'equazione più intuitiva (P_i varia), e Lambda, in funzione di P_i ed R, vale -1 o 1 a seconda di chi counteri chi.

Questo studio consente una definizione molto più rigorosa dei concetti 'uber' e 'cheap'.

- Singolarità nella gravitazione -

Si è definito il parametro di usage k, ed è evidente che più esso diminuisce, più M_k sarà grande e comprenderà più Pokémon. Cosa succede, dunque, quando k=0? Secondo la definizione di Pokémon come elemento di |R¹⁰⁰, la somma si dovrà effettuare su tutto questo insieme, diventando un integrale particolare:



(ho cambiato notazione da x_i a r_m per motivi di ovvia coolness)

Dove il d⁰ è qualcosa di cui vorrei discutere con qualcuno e che rappresenta il principale problema della singolarità, perchè una somma solitamente viene fatta convergere ad integrale quando c'è un elemento 'delta' che converge a d. In definitiva, da qui alla fine di questo post il simbolo di integrale può essere letto come una somma in casi 'normali'.

- Strategia e flusso -

Per (s)fortuna non ho ancora scritto le formule che sintetizzano le frasi che scriverò ora, ma sono di poco conto quindi non importa.

E' possibile definire con un vettore, in cui tutte le componenti sono nulle tranne due, la mossa che un giocatore fa in un generico turno t. In questo modo il log della battle diventa sostanzialmente una matrice a (N+1)*T celle, dove N denota il numero di scelte possibili nel turno, e T denota la durata (calcolabile) della battle; ed è possibile discernere, tramite una delle due componenti del vettore, a quale giocatore corrisponde ciascuna mossa.

Una strategia sigma(t) è la successione di tutte le mosse fatte da uno stesso giocatore.

E' evidente, da questa definizione, che la strategia è necessariamente influenzata da quella dell'avversario e viceversa; è dunque possibile trovare una misura di 'bontà' della strategia solo in relazione a quella dell'avversario.

Una sera gf mi diede un importante input: il paragone tra la fluidomeccanica ed il comportamento del pensiero umano. Ciò che è seguito da questo è un modo di descrivere il comportamento del giocatore (da safety estrema ad aggressività estrema) durante la partita tramite un'applicazione dell'equazione di Navier-Stokes, descrivente il comportamento di un fluido soggetto a forze e stress. La differenza principale nell'equazione risultante è che è discreta: il tempo scorre solamente nei turni. La soluzione di quest'equazione è la posizione della strategia sull'asse safe-aggressive, e si basa su un postulato fondamentale:

La strategia, in assenza di ostacoli, tende naturalmente all'aggressività.

Dopo molte manipolazioni algebriche e definizioni semi-soggettive, ciò che ho ottenuto è:



Dove p è il numero di possibilità della strategia ed F risultante di eventuali forze esterne, x la posizione incognita e Delta l'operatore differenziale nel discreto.

- Gravitazione di team e unificazione finale -

Come sopra scritto, è possibile valutare la forza di una strategia solamente in relazione ad un'altra. Ed è in modo semplice che ho definito il potenziale V di una strategia rispetto ad un'altra:



Dove il pedice denota il team della cui strategia si calcola il potenziale rispetto al team in apice, e la barra denota il valore medio.

Per quanto riguarda la gravitazione, invece, è possibile estendere l'equazione scritta prima semplicemente aggiungendo un pedice mu a tutti gli r, in modo da ottenere più equazioni identiche, ognuna per ogni membro del team.

Per legare i membri del team insieme, però, bisogna far intervenire il potenziale strategico sopra definito; andrà a moltiplicare la massa del Pokémon. Il moltiplicatore sarà dunque lo stesso per i membri dello stesso team, che verranno inevitabilmente 'clusterizzati' nella loro posizione. In caso di team non pre-determinato, evidentemente data una strategia l'equazione farà avvicinare candidati per un team ottimizzato su quella strategia. O, al contrario, dato un team si può procedere a tentativi per trovare la strategia che meglio lo calza. Scrivendo in simboli, dunque, si ha:



che si semplifica in