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non riesco a trovare un metodo per semplificarla e ricondurla a una delle serie note/una forma in cui si possa usare uno dei vari criteri in maniera agibile nemmeno dopo aver mandato via il seno, halp pls 
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dovrebbe essere Euler o al più Cambria Math
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prova il test del rapporto. la serie converge se da un certo N in poi tutti i rapporti tipo
un+1/un sono maggiorati da vn+1/vn,
dove un è l'n-esimo termine della tua serie e vn l'n-esimo di una serie che sai che converge.
se prendi N sufficientemente grande il rapporto tra oggetti successivi dovrebbe essere maggiorato dal rapporto di termini successivi nella somma dei reciproci dei quadrati, cioè
argomento della tua serie ad n+1/argomento della tua serie ad n < (1/(n+1)2)/(1/n2)
la somma dei reciproci dei quadrati converge perciò se funziona l'hai dimostrato.
se prendi N molto grande puoi usare l'approssimazione di taylor del seno intorno a zero ma penso che tu lo abbia già capito
edit: wolfram dice che ho ragione http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%2...2F%281%2Fn^2%29
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edit2 scherzavo mi ha messo le parentesi sbagliate
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grz, ora provo a verificare 🐧
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no no non funziona, funziona per N sufficientemente grandi con esponenti molto più piccoli dei quadrati tipo
argomento della tua serie ad n+1/argomento della tua serie ad n < (1/(n+1)1.0001)/(1/n1.0001)
e la seconda sai che converge perché 1.0001>1
questo ti dà la convergenza della tua, però penso sia abbastanza difficile trovare l'N (anche se in realtà in questo caso basta sceglierne uno ragionevole e dovrebbe essere già vera per N=2) e verificare algebricamente la disuguaglianza per n>N, e quindi non penso che sia il modo in cui l'esercizio era pensato per essere risolto
www.wolframalpha.com/input/?i=%28sq...81%2Fn^1.001%29
con l'esponente 1.001 già funziona
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puoi fare il test del rapporto considerando la serie dei vn=1/n^1.001
lim n->inf (un/vn) dove un è il termine n-esimo della tua serie
lim n->inf [(sqrt((n+2)/(n))-1)sin(1/n^(1/4))]/(1/n^1.001)
= lim n->inf n^1.001*[(sqrt((n+2)/(n))-1)/n^(1/4)]
= lim n->inf n^0.751*(1/n) = 0
se il limite del rapporto è zero il numeratore cresce più lentamente del denominatore e siccome l'elemento al denominatore viene da una somma che converge la somma al numeratore converge
è un metodo sicuramente molto più semplice
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grz mi pare di aver capito
cioè alla fine è la serie armonica generalizzata a cui è applicato il criterio del rapporto e confrontandole ottengo la convergenza
non capisco però come la mia serie sia < della seconda :v
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CITAZIONE (NaCì @ 16/2/2016, 17:28) grz mi pare di aver capito
cioè alla fine è la serie armonica generalizzata a cui è applicato il criterio del rapporto e confrontandole ottengo la convergenza
non capisco però come la mia serie sia < della seconda :v
nel limite di n->+inf sin(1/n^1/4) è ~ n^-1/4, mentre sqrt((n+2)/(n))-1 va a zero come 1/n. quindi approcciando l'infinito i termini della tua serie si comportano come
n-1*n-1/4 = n-5/4
che è una serie armonica generalizzata con esponente 1.25.
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In altemativa puoi direttamente vedere il comportamento asintotico del termine n-esimo della serie e vedere se tende a zero più velocemente di 1/n o no. È il criterio di confronto asintotico applicato alla serie armonica.
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9 replies since 15/2/2016, 23:53 163 views
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